§ 34. Линейные вычислительные алгоритмы

Основные темы параграфа:

♦ присваивание; свойства присваивания;
♦ обмен значениями двух переменных;
♦ описание линейного вычислительного алгоритма.

Присваивание; свойства присваивания

Поскольку присваивание является важнейшей операцией в алгоритмах, работающих с величинами, то поговорим о ней более подробно.

Переменная величина получает значение в результате присваивания.

Присваивание производится компьютером при выполнении одной из двух команд из представленной выше системы: команды присваивания или команды ввода.

Рассмотрим последовательность выполнения четырех команд присваивания, в которых участвуют две переменные а и b. В приведенной ниже таблице против каждой команды указываются значения переменных, которые устанавливаются после ее выполнения. Такая таблица называется трассировочной таблицей, а процесс ее заполнения называется трассировкой алгоритма. Компьютер выполняет команды в порядке их записи в алгоритме.

Прочерк в таблице обозначает неопределенное значение переменной. Конечные значения, которые получают переменные а и b, соответственно равны 2 и 4.

Этот пример иллюстрирует три основных свойства присваивания. Вот эти свойства:

1) пока переменной не присвоена значения, она остается неопределенной;
2) значение, присвоенное переменной, сохраняется вплоть до выполнения следующего присваивания этой переменной нового значения;
3) новое значение, присвоенное переменной, заменяет ее предыдущее значение.

Обмен значениями двух переменных

Рассмотрим еще один очень полезный алгоритм, с которым при программировании часто приходится встречаться. Даны две переменные величины X и Y. Требуется произвести между ними обмен значениями. Например, если первоначально было: X= 1; Y = 2, то после обмена должно стать: X = 2, Y = 1.

Хорошим аналогом для решения такой задачи является следующая: даны два стакана, в первом — молоко, во втором — вода; требуется произвести обмен их содержимым. Всякому ясно, что в этом случае нужен дополнительный третий пустой стакан. Последовательность действий будет следующей:

1) перелить из 1-го в 3-й;
2) перелить из 2-го в 1-й;
3) перелить из 3-го во 2-й.

Цель достигнута!

По аналогии для обмена значениями двух переменных нужна третья дополнительная переменная, Назовем ее Z. Тогда задача решается последовательным выполнением трех операторов присваивания (пусть начальные значения 1 и 2 для переменных X и Y задаются вводом):

Действительно, в итоге переменные X и Y поменялись значениями. На экран будут выведены значения X и Y в таком порядке: 2, 1. В трассировочной таблице выводимые значения выделены жирным шрифтом.

Аналогия со стаканами не совсем точна в том смысле, что при переливании из одного стакана в другой первый становится пустым. В результате же присваивания (Х:=Y) переменная, стоящая справа (Y), сохраняет свое значение.

Описание линейного вычислительного алгоритма

И наконец, рассмотрим пример составления алгоритма для решения следующей математической задачи: даны две простые дроби; получить дробь, являющуюся результатов их деления.

В школьном учебнике математики правила деления обыкновенных дробей описаны так:

1. Числитель первой дроби умножить на знаменатель второй.
2. Знаменатель первой дроби умножить на числитель второй.
3. Записать дробь, числителем которой является результат выполнения пункта 1, а знаменателем — результат выполнения пункта 2.

В алгебраической форме это выглядит следующим образом:

Теперь построим алгоритм деления дробей для компьютера. В этом алгоритме сохраним те же обозначения для переменных, которые использованы в записанной выше формуле. Исходными данными являются целочисленные переменные а, b, с, d. Результатом — также целые величины m и n.

Ниже алгоритм представлен в двух формах; в виде блок-схемы и на Алгоритмическом языке (АЯ).

Раньше прямоугольник в схемах алгоритмов управления мы называли блоком простой команды. Для вычислительных алгоритмов такой простой командой является команда присваивания. Прямоугольник будем называть блоком присваивания, или вычислительным блоком. В форме параллелограмма рисуется блок ввода/вывода. Полученный алгоритм имеет линейную структуру (рис. 6.1).

В алгоритме на АЯ строка, стоящая после заголовка алгоритма, называется описанием переменных. Служебное слово цел означает целый тип. Величины этого типа могут иметь только целочисленные значения. Описание переменных имеет вид:

<тип переменных> <список переменных>

Список переменных включает все переменные величины данного типа, входящие в алгоритм.

В блок-схемах типы переменных не указываются, но подразумеваются. Запись алгоритма на АЯ ближе по форме к языкам программирования, чем блок-схемы.

Коротко о главном

Основные свойства присваивания:

• значение переменной не определено, если ей не присвоено никакого значения;
• новое значение, присваиваемое переменной, заменяет ее старое значение;
• присвоенное переменной значение сохраняется в ней вплоть до нового присваивания.

Обмен значениями двух переменных производится через третью дополнительную переменную.

Трассировочная таблица используется для «ручного» исполнения алгоритма с целью его проверки.

В алгоритмах на АЯ указываются типы всех переменных. Такое указание называется описанием переменных.

Числовые величины, принимающие только целочисленные значения, описываются с помощью служебного слова цел (целый).

Вопросы и задания

1. Из каких команд составляется линейный вычислительный алгоритм?
2. Что такое трассировка? Как она производится?
3. В каком случае значение переменной считается неопределенным?
4. Что происходит с предыдущим значением переменной после присваивания ей нового значения?
5. Как вы думаете, можно ли использовать в арифметическом выражении оператора присваивания неопределенную переменную? К каким последствиям это может привести?
6. Напишите на АЯ алгоритм сложения двух простых дробей (без сокращения дроби).
7. Напишите на АЯ алгоритм вычисления у по формуле

у = (1 - х² + 5х⁴)²,

где х — заданное целое число. Учтите следующие ограничения:
1) в арифметических выражениях можно использовать только операций сложения, вычитания и умножений; 2) выражение может содержать только одну арифметическую операцию. Выполните трассировку алгоритма при х = 2.
8. Пользуясь ограничениями предыдущей задачи, напишите наиболее короткие алгоритмы вычисления выражений:

y = х⁸;  y = x¹⁰; y = х¹⁵; у = х¹⁹.

Постарайтесь использовать минимальное количество дополнительных переменных. Выполните трассировку алгоритмов.
9. Запишите алгоритм циклического обмена значениями трех переменных А, В, С. Схема циклического обмена:

Например, если до обмена было: А = 1, В = 2, С = 3, то после обмена должно стать: А = 3, В = 1, С=2. Выполните трассировку.